Iemand loopt in een trein, gerekend t.o.v. de trein, met een snelheid van 5 km/u en de trein gaat met een snelheid van 80 km/u t.o.v. de grond naar rechts. Na 2 uur bevindt hij zich t.o.v de grond op 170 km naar rechts, maar t.o.v de trein bevindt hij zich op 10 km naar rechts. In de formules hieronder is v de snelheid waarmee de trein naar rechts rijdt gerekend t.o.v. de grond. De grootheid x' is de positie van de man op de trein gerekend t.o.v. de trein. De grootheid x is de positie van de man op de trein gerekend t.o.v. de grond. De grootheid t is de tijd en de snelheid van de trein gerekend t.o.v. de grond is v.
Je krijgt dus:
y= 100 + 30x
of meer algemeen:
x' = x - v*t (1)
Denk eraan: x: is gerekend t.o.v. de grond en x' is gerekend t.o.v. de trein
170 is de positie van de man t.o.v. de grond 80*2 is de positie van de trein t.o.v. de grond 10 is de positie van de man t.o.v. de trein
Verder geldt natuurlijk ook:
x = 10 + 80*2 = 170 (x is de positie t.o.v. de grond)
en meer algemeen:
x = x' + v*t (2)
10 is de positie van de man t.o.v. de trein 80*2 is de positie van de trein t.o.v. de grond 170 is de positie van de man t.o.v. de grond
De transformatie zoals is aangegeven in de formules (1) en (2) wordt de Galileitransfornatie genoemd. In formule (1) is alles wat rechts van het =-teken staat gerekend t.o.v. de grond en alles wat links van het =-teken staat gerekend t.o.v. de trein. In formule (2) geldt het omgekeerde. Daar is alles wat rechts van het =-teken staat gerekend t.o.v. de trein (behalve v), en alles wat links van het =-teken staat gerekend t.o.v. de grond. Eigenlijk zou er in formule (2) dus t nog een accentje moeten hebben (zie hieronder):
x = x' + v*t' (3)
Maar dat zou betekenen, dat de tijd gerekend t.o.v. de trein eventueel anders zou kunnen zijn dan de tijd gerekend t.o.v. de grond. Nou, dat geloofde Galilei en ook Newton niet. Zij dachten dat de tijd altijd hetzelfde was ongeacht t.o.v. welke referentiesysteem (trein, grond, etc,) dan ook men rekent. In zo'n geval zegt men, dat de tijd absoluut is en niet relatief, zoals wèl het geval is bij de plaats waar je je bevindt. Vandaar dat wèl gewerkt werd met x en x', maar niet met t en t'. Overigens dachten niet alleen Galilei en Newton, dat de tijd absoluut was, maar ook alle natuurkundigen na hen tot Einstein. Maar als je vindt, dat de tijd relatief is dan moet je natuurlijk wèl naast t ook t' gebruiken. Bij de Galileitransformatie wordt er dus stilzwijgend van uit gegaan, dat:
t' = t (4)
Ook al alleen wiskundig gezien hoeft t natuurlijk helemaal niet gelijk te zijn aan t'. Maar in dat geval zou de tijd ook relatief zijn net als de plaats (x en x'). Ja, het is natuurlijk wèl even wennen, dat de tijd niet absoluut zou zijn. Dat is echter helemaal niet zo verwonderlijk, omdat alle geleerden vóór Einstein het ook al zo voor de hand vonden liggen, dat de tijd absoluut was, dat ze het onderscheid tussen t en t' helemaal niet maakten.
In de redenering hierboven wordt er vanuit gegaan, dat de trein met een constante snelheid rijdt. Het is dus niet zo dat hij aan het remmen is of als maar sneller aan het rijden is.
Nu een vraagje om te kijken of jullie het allemaal begrepen hebben.
Stel een trein rijdt met 120 km/u naar rechts en iemand loopt in de trein met 7 km/u naar rechts gerekend t.o.v. de trein. Hoe snel beweegt hij zich dan gerekend t.o.v. de grond. Hoe zou je dit in een algemene formule kunnen schrijven?
Hoe zou je dit in een algemene formule kunnen schrijven?
Het antwoord kunnen jullie vinden door hieronder te klikken:
Antwoord
Maar ik zou eerst maar eens proberen om het op te lossen.
We hadden boven al vast gesteld, dat de snelheid in fornule geschreven kan worden als
v = x/t
Er is dus sprake van de afgelegde weg x en van de daarvoor benodigde tijd t. Nu kunnen we x en t laten corresponderen met de x-as en y-as in een zogenaamd xy-assenstelsel of xy-diagram, waarbij de x-as correspondeert met x en de y-as met t. Zo'n diagram noemt men ook wel een Minkowski diagram. Je had het natuurlijk ook omgekeerd kunnen doen. Dan hadden we x en t moeten laten corresponderen met de y-as en x-as, waarbij de x-as correspondeert met t en de y-as met x. Beide gevallen hadden gekund en het maakt in principe niet uit welke representatie je kiest. Maar de natuurkundigen hebben de gewoonte de eerste te kiezen. Wanneer iets of iemand zich op een bepaald tijdstip t op een bepaalde plaats x bevindt, dan correspondeert dat volgens de eerste representatie, die van het Minkowski diagram, met het punt (x, t). Volgens de tweede representatie correspondeert dat met het punt (t, x). In het geval van de eerste representatie (Minkowski diagram) zou je kunnen zeggen, dat als het object, bv. de trein, of een persoon een bepaalde afstand afgelegd heeft er een bepaalde hoeveelheid tijd is verlopen. De tijd lijkt dan afhankelijk van de afgelegde weg. Maar de snelheid speelt natuurlijk ook een rol. Als het object of de persoon zich met een bepaalde vaste (niet veranderende snelheid) voortbeweegt, dan correspondeert dat in beide representaties met een rechte lijn. In de tweede representatie, waarbij de x-as overeenkomt met de tijd t, komt de snelheid v overeen met de tangens van de hoek die je kunt maken van de rechte lijn en de x-as. In de eerste representatie (het Minkowski diagram), waarbij de y-as overeenkomt met de tijd t, komt de snelheid v overeen met de tangens van de hoek die je kunt maken van de rechte lijn en de y-as. Denk eraan in de eerste representatie vertegenwoordigt de y-as de tijd t.
Zuiver wiskundig gezien is de transformatie zoals gedefiniëerd in formule (1) en (4) niets meer dan een speciaal geval van de meer algemene transformatie hier onder:
x' = a*x + b*y y' = c*x + d*y
y' = c*x + d*y
waarbij je formule (1) en (4) kunt verkrijgen door de volgende substituties uit te voeren
y = t, a = 1, b = -v, c = 0 en d = 1.
Denk er aan, dat bij elke x- en y-as ook een een corresponderende x'-as en y'-as hoort. Als je de posities van de punten hetzelfde houdt, kunnen in het x'y'-diagram de x'-as en y'-as schuin staan t.o.v. x-as en y-as in het xy-diagram. Denk er ook aan, dat je, bij hetzelfde houden van de posities van de punten, de coördinaten van een punt bepaald door parallel te gaan t.o.v. de assen. De vraag is dan hoe ziet het x't'-coördinatenstelsel, of te wel het x't'-diagram, eruit in het geval van een Galileitransformatie, dat is dus de transformatie zoals gedefiniëerd in formule (1) en (4). Klik hier om dat uit te zoeken. Je komt dan op de site met als titel: Minkowski space Onder het woordje 'Parameters' moet je, door op het vinkje te klikken, het woordje 'Galilean' tevoorschijn halen. Vervolgens voer je onder 'Lab' een x-waarde in en een t-waarde. Door onder 'Lab' op 'Add' te klikken, krijg je het xt-punt te zien in het xt-referentiesystem. Het punt heeft een rode kleur! Je legt als het ware het xt-punt vast in het xt-referentiesystem. Achter 'v = ' zie je een schuifbalkje. Door dat balkje te bewegen krijg je verschillende waarden voor de snelheid van het tweede referentiesysteem t.o.v het eerste, v, en zo kun je zien hoe het x't'-referentiesystem (diagram) zich wijzigt afhankelijk van v. Onder 'Moving' kun je ook de veranderende waarden van x' en t' zien en je kunt deze waarden controleren door in het diagram te kijken waar de rode punt zich bevindt in het x't'-referentiesystem (de blauwe lijnen). Je zult merken dat ongeacht de waarde van v altijd geldt, dat t' = t. Dat is typisch het geval voor de Galileitransformatie. Nu volgt een voorbeeld. Neem x = 2 en t = 3 en v = 0.1. Dan krijg je als uitkomst: x' = 1.700 en t' = 3. Deze uitkomsten krijg je zowel in de formules hierboven als in het diagram!
Begin nu even helemaal opnieuw in de applicatie. Neem nu eens x' = 2 en t' = 3 en leg deze waarden vast door ze in te vullen in de vakjes onder 'Moving'. Klik vervolgens op 'Add'. Je krijg dan het x't'-punt te zien in het x't'-referentiesystem. Het punt heeft nu een groene kleur! Door het schuifbalkje achter 'v = ' te bewegen zie je nu, dat de groene punt een beweging maakt in het in het xt-referentiesystem. Deze beweging volgt een horizontale rechte lijn op de hoogte van de ingevoerde t'-waarde. Voor elk x't'-punt krijg je zo'n horizontale rechte lijn en daarom wordt deze transformatie ook wel een ... transformatie genoemd. De feitelijke xt-waarden van het groene punt krijg je niet te zien. Maar die kun je natuurlijk wel eenvoudig berekenen met formule (2).
Als een jongleur een cascade uitvoert, dat is een figuur met drie ballen, dan hoeft hij geen correcties uit te voeren wanneer hij dat doet op een met een constante snelheid rijdende trein. Het maakt niet uit of hij dat doet op de grond of op de rijdende trein. De wetten van Newton, die gaan over de beweging van objecten moeten voor beide referentiesystemen hetzelfde zijn. Je kunt dat m.b.v. de wiskunde controleren. Hoe dat bij voorbeeld gaat bij de tweede wet van Newton F = ma kun je zien door hier te klikken. Nu blijven de wetten van Newton inderdaad hetzelfde onder een Galileitransformatie. In het Engels zegt men dan:
In het Nederlands zegt men: De wetten van Newton zijn invariant onder een Galileitransformatie. Newton en verder iedereen na hem dacht dus dat er niets aan de hand was, zeker als de wetten hetzelfde bleven na een Galileitransformatie. Newton beschreef zijn theorie over de beweging van de planeten en eigenlijk over de beweging van lichamen in het algemeen in zijn hoofdwerk Philosophiae Naturalis Principia Mathematica en het boek kwam uit in 1687. De theorie staat ook bekend als de klassieke mechanica. Newton gaf ook een verklaring voor het gewicht wat we voelen wanneer we een zwaar voorwerp moeten optillen. Deze kracht, de zwaartekracht, gebruikte hij om de beweging van lichamen, zoals planeten, t.o.v. elkaar te beschrijven.
Er was echter een andere kracht waarover Newton niets zei. Dat is de kracht die je ervaart als je twee sterke magneten uit elkaar moet trekken. Ongeveer 200 jaar later maakte een andere natuurkundige daar een theorie over. Dat was een theorie om magnetische verschijnselen te verklaren. Als je bijvoorbeeld ijzervijlsel strooit in de buurt van een staafmagneet die op papier ligt en je beweegt het papier een beetje op en neer dan gaat het ijzervijfsel een bepaald patroon volgen. De naam van de natuurkundige was Maxwell en en hij presenteerde zijn theorie tijdens een lezing, die hij hield voor de Royal Society. Het was in het jaar in 1864. De titel van de lezing was A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field. In de titel is er sprake van 'electromagnetische velden'. Hij noemde de velden 'electromagnetisch', omdat magnetisme ook samen bleek te hangen met electriciteit en omgekeerd. Electromagnetische verschijnselen bleken te voldoen aan allerhande regelmatigheden. Ter verklaring hiervan introduceerde Maxwell tijdens deze lezing 20 verschillende wetten. Deze wetten waren opgeschreven in de vorm van vergelijkingen. In deze 20 vergelijkingen komen ook 20 verschillende grootheden (variabelen) voor. Op die manier heb je dus een stelsel van 20 vergelijkingen met 20 variabelen. Een voorbeeld van twee vergelijkingen met twee variabelen (onbekenden) is bv.
6 = 3*x + 6*y
en
7 = 2*x + 3*y
De gelijkheid gaat in beide gevallen op, wanneer x = 8 en y = -3. Men noemt die waarden voor x en y de oplossing van het stelsel van vergelijkingen. Als je wat meer wil weten over meerdere vergelijkingen met meerdere onbekenden klik dan hier. Nu bleek echter, dat de wetten van Maxwell niet invariant waren onder een Galileitransformatie en dat gaf nogal wat problemen. Hoewel er ook wel natuurkundigen waren, die maar net deden alsof er geen probleem was.
Later in 1887 werd er een experiment gedaan door de natuurkundigen Michelson en Morley. Dit experiment staat bekend als het Michelson-Morley-experiment. Uit het experiment bleek, dat de snelheid van licht niet relatief was. Dus voor iemand in de trein is de lichtsnelheid hetzelfde als voor iemand op de grond. Voor de man op de grond speelt de snelheid van de trein geen rol. De snelheid die hij meet is hetzelfde als de snelheid die de man op de trein meet. Als de snelheid van het licht gemeten t.o.v. de grond gelijk is aan c is en de snelheid van het licht gemeten t.o.v. de trein gelijk is aan c' en de snelheid van de trein gemeten t.o.v. de grond gelijk is aan v dan zou je volgens de Galilei transformatie verwachten dat
c = v + c' of c' = c - v
maar dat is dus niet zo. Wat Michelson en Morley in hun experiment vonden was consistent met
c = c' of c' = c
We zeggen: De snelheid van het licht is absuluut (niet relatief). Daarmee is de snelheid (in vacuüm) ook altijd hetzelfde. Vandaar dat men ook wel zegt: De snelheid van het licht is constant. Het Michelson-Morley-experiment wordt beschouwd als één van de belangrijkste en beroemdste experimenten in de geschiedenis van de natuurkunde. Overigens is licht een electromagnetisch verschijnsel en dat werd al als een vermoeden uitgesproken door Maxwell.
In het Minkowski diagram correspondeert de horizontale as met de plaats x waarop een gebeurtenis plaats vindt en de verticale as met de tijd t. Nu kun je de tijd meten in seconden, maar natuurlijk ook in minuten of uren of zelfs in jaren. Omdat het licht zich met een constante snelheid verplaatst zul je in het Minkowski diagram de verplaatsing van het licht met de tijd weerspiegelt zien in een rechte lijn. Stel bijvoorbeeld, dat de we de positie x van het licht meten in lichtjaren en de tijd t in jaren, dan heeft het licht zich na 1 jaar 1 positie (1 lichtjaar) verplaatst en na twee jaar twee postites, etc. Je krijgt dan in het Minkowski diagram een rechte lijn die een hoek van 45 graden maakt met de x-as. Denk eraan, dat 1 lichtjaar de afstand is, die het licht aflegt in 1 jaar. Nu nemen we voor de snelheid van het licht c en we gaan in het Minkowski diagram in plaats van met t werken met y, waarbij y = ct. De verticale as correspondeert dus nu met y, waarbij y = ct. Stel we zouden het licht meten in seconden en de afstand die het licht aflegt in kilometers. Nu is de snelheid waarmee het licht zich verplaatst ongeveer 300.000 kilometer per seconde en hier gaan we er maar even vanuit dat dat de exacte snelheid van het licht is. Als we het licht dus meten in seconden en de afstand die het licht aflegt in kilometers dan heeft het licht zich, na vijf seconden t = 5 gerekend vanaf het tijdstip 0, dus vanaf t = 0, precies 1500.000 kilometer x = 1500.000 verplaatst. Maar als we, in plaats van met t, werken met y krijgen we y = 1500.000 en x = 1500.000 en omdat de snelheid overeenkomt met x/y wordt c = 1. Dus in een xy-Minkowski diagram, waarbij y = ct is de snelheid van het licht altijd gelijk aan 1 en komt de verplaatsing van het licht overeen met een rechte lijn van 45 graden. Nu geldt, dat v = x/t. Wanneer we dus met y werken in plaats van met t moeten we ook met een andere snelheid werken, zeg w, waarbij w = x/y. Denk eraan, dat w = v/c.
Een lichtgolf beweegt zich in het xy-Minkowski diagram volgens x = y of volgens x = -y:
x = +y licht beweegt heen x = -y licht beweegt terug
Een vergelijking die aan beide eigenschappen voldoet is x2 = y2 . Voor wat betreft de positie van het licht moet er dus worden voldaan aan x2 = y2 , maar dat kun je ook schrijven als
x2 - y2 = 0.
Maar nu geldt voor een referentiesysteem, dat zich met een constante snelheid beweegt t.o.v. een gegeven referentiesysteem, voor licht hetzelfde. Een lichtgolf beweegt zich in het x'y'-Minkowski diagram volgens x' = y' of volgens x' = -y':
x' = +y' licht beweegt heen x' = -y' licht beweegt terug
Een vergelijking die aan beide eigenschappen voldoet is x'2 = y'2 . Voor wat betreft de positie van het licht moet er dus worden voldaan aan x'2 = y'2 , maar dat kun je ook schrijven als
x'2 - y'2 = 0.
Als we nu een transformatie zouden vinden van een xy-Minkowski diagram naar een x'y'-Minkowski diagram (x → x' en y → y') zodanig dat
x2 - y2 = x'2 - y'2
dan houdt dat in, dat
x2 - y2 = 0 desda x'2 - y'2 = 0
Gelukkig bestaat er zo'n transformatie. Deze transformatie staat bekend als een hyperbolische rotatie. De formules voor een hyperbolische rotatie van een assenstelsel (x,y) zijn:
x' = cosh(ω)x - sinh(ω)y y' = - sinh(ω)x + cosh(ω)y
waarbij - ∞ < ω < + ∞. De cosinus hyperbolicus ("cosh") en sinus hyperbolicus ("sinh") zijn gedefiniëerd als:
cosh(x) = ½(ex + e-x) sinh(x) = ½(ex - e-x)
waarbij e een wiskundige constante is, die bij benadering gelijk is aan 2,718281828459. Een touw dat aan beide uiteinden opgehangen wordt, volgt de vorm van een cosinus hyperbolicus. Deze kromme wordt ook wel de kettinglijn genoemd. Verder geldt, dat
cosh2(x) - sinh2(x) = 1
Het getal e wordt ook wel de constante van Neper (Napier) genoemd, naar de uitvinder van de logaritme, de Schotse wiskundige John Napier, die e omstreeks 1600 tegenkwam bij zijn werk aan een van de eerste rekenlinialen. Het getal e werd door de Zwitserse wiskundige Leonhard Euler het exponentiële getal genoemd.
Het is nu makkelijk om aan te tonen, dat
(x2 - y2) - (x'2 - y'2) = 0.
Immers substitutie geeft:
(x2 - y2) - (x'2 - y'2) = x2 - y2 - [{cosh(ω)x - sinh(ω)y}2 - {-sinh(ω)x + cosh(ω)y}2] = 0.
Nu is de Galileitransformatie gedefiniëerd in termen van x, t en v en om dat te bereiken moeten we in
cosh(ω) en sinh(ω) schrijven in termen van v en c. Nu geldt, dat x' = 0 het geval is wanneer
cosh(ω)x - sinh(ω)y = 0
of
cosh(ω)x = sinh(ω)y
x = [sinh(ω)/cosh(ω)] y
Maar er geldt ook, dat x = w y, immers x is de afgelegde weg gerekend vanaf x = 0 en y is de verlopen tijd gerekend vanaf y = 0. Denk eraan y geeft de tijd aan, immers y = ct. Dus we mogen ook schrijven
w = sinh(ω)/cosh(ω)
w2 = sinh2(ω)/cosh2(ω)
Nu volgt uit
dat
sinh2(x) = cosh2(x) - 1
Substitutie geeft
w2 = [cosh2(ω) - 1] / cosh2(ω)
Hieruit volgt weer, dat
cosh(ω) = 1 / √(1-w2)
Zo kun je ook aantonen, dat
sinh(ω) = w / √(1-w2)
Substitutie in
geeft
x' = [ x / √(1-w2)] - [wy / √(1-w2)] y' = - [wx / √(1-w2)] + [ y / √(1-w2)]
Eerder hadden we echter gesteld dat y = ct en natuurlijk oon y' = ct' en verder ook, dat w = v/c. Substitutie leidt tot
x' = [ x / √(1-v2/c2)] - [vt / √(1-v2/c2)] (5) t' = - [ (vx)/c2 / √(1-v2/c2)] + [ t / √(1-v2/c2)] (6)
Deze transformatie staat bekend als de Lorentztransformatie. Wanneer we nu c zeer groot nemen vergeleken met v dan is het zo, dat, naarmate c nadert naar oneindig, de Lorentztransformatie nadert naar de Galileitransformatie: formules (1) en (4). Je zou dus kunnen zeggen, dat het impliciete idee achter de Galileitransformatie is, dat snelheid in principe onbeperkt is, ook als het gaat om de lichtsnelheid.
Boven hadden we de vergelijking:
Maar omdat y = ct moeten we de Lorentztransformatie checken door te kijken of de volgende vergelijking geldt:
(x2 - c2t2) - (x'2 - c2t'2) = 0.
Het is makkelijk door middel van substitutie aan te tonen, dat dit inderdaad het geval is.
Herschrijving van formule (5) en (6) geeft ook:
x = [ x' / √(1-v2/c2)] + [vt' / √(1-v2/c2)] (7) t = [ (vx')/c2 / √(1-v2/c2)] + [ t' / √(1-v2/c2)] (8)
De vraag is nu hoe ziet het x't'-coördinatenstelsel, of te wel het x't'-diagram, eruit in het geval van een Lorentztransformatie. Klik hier om dat uit te zoeken. Je komt dan op de site met als titel: Minkowski space Onder het woordje 'Parameters' moet je, door op het vinkje te klikken, het woordje 'Lorentz' tevoorschijn halen. Vervolgens voer je onder 'Lab' een x-waarde in en een t-waarde. Door onder 'Lab' op 'Add' te klikken, krijg je het xt-punt te zien in het xt-referentiesystem. Het punt heeft een rode kleur! Je legt als het ware het xt-punt vast in het xt-referentiesystem. Achter 'v = ' zie je een schuifbalkje. Door dat balkje te bewegen krijg je verschillende waarden voor de snelheid van het tweede referentiesysteem t.o.v het eerste, v, en zo kun je zien hoe het x't'-referentiesystem (diagram) zich wijzigt afhankelijk van v.
Denk er echter aan, dat wat in onze formules v is, in de applicatie -v is.
Onder 'Moving' kun je ook de veranderende waarden van x' en t' zien en je kunt deze waarden controleren door in het diagram te kijken waar de rode punt zich bevindt in het x't'-referentiesystem (de blauwe lijnen).
Let echter op! In de applicatie is c gelijk gesteld aan één en alleen voor c = 1 kun je kijken hoe het referentiesystem (diagram) zich gedraagt.
Je zult merken dat voor v ≠ 0 nu ook t' niet meer gelijk blijft aan t. Dat is typisch het geval voor de Lorentztransformatie. Nu volgt een voorbeeld. Neem x = 2 en t = 3 en v = 0.1 (in de applicatie voer je v = -0.1 in). Dan krijg je als uitkomst: x' = 1.709 en t' = 2.814. Deze uitkomsten krijg je zowel in de formules hierboven als in het diagram! Denk eraan dat voor c = 1 en v = 0.1 de snelheid gelijk is aan 10 procent van de lichtsnelheid en dat is behoorlijk snel, zeker vergeleken met de snelheid van een trein.
Begin nu even helemaal opnieuw in de applicatie. Neem nu eens x' = 2 en t' = 3 en leg deze waarden vast door ze in te vullen in de vakjes onder 'Moving'. Klik vervolgens op 'Add'. Je krijg dan het x't'-punt te zien in het x't'-referentiesystem. Het punt heeft nu een groene kleur! Door het schuifbalkje achter 'v = ' te bewegen zie je nu, dat de groene punt een beweging maakt in het in het xt-referentiesystem. Deze beweging volgt de curve van een hyperbool. Voor elk x't'-punt krijg je een hyperbool en daarom wordt deze transformatie ook wel een hyperbolische rotatie genoemd. De feitelijke xt-waarden van het groene punt krijg je niet te zien. Maar je kunt ze wel berekenen met behulp van formule (7) en (8).
Hoe weet je nu dat als we x' = 2 en t' = 3 nemen, dat we dan door v te variëren een hyperbool krijgen in het xt-vlak? Uit formule (7) en (8) volgt voor x' = 2 en t' = 3 en voor c = 1, dat
x = 2/√(1-v^2)+3*v/√(1-v^2) (9) t = 2*v/√(1-v^2)+3/√(1-v^2) (10)
Uit formule (9) volgt, dat
v = (1/3)*x*( 2*x+3*√(x^2+5))/(x^2+9)-2/3 (11) of v = - (1/3)*x*(-2*x+3*√(x^2+5))/(x^2+9)-2/3 (12)
Als we nu (11) substitueren in (10) dan krijgen we
t = (2*x*√(x^2+5)+15+3*x^2)/((x^2+9)*√((13*x^2+45+12*x*√(x^2+5))/(x^2+9)^2)) = √(x^2+5)
t = √(x^2+5)
is een hyperbool. Een circel, waarvan het middelpunt in het centrum ligt van een xy-assenstelsel heeft als vergelijking
x2 + y2 = r2
waarbij r de straal is van de circel. De vergelijking voor een hyperbool, waarvan het symmetriepunt in het centrum ligt van een xy-assenstelsel, lijkt erg op die van een circel. In plaats van het +-teken is er echter nu een --teken en daarom is er nu sprake van twee vergelijkingen:
x2 - y2 = a2 en y2 - x2 = b2
Daarbij zijn -a en +a de snijpunten met de x-as en -b en +b de snijpunten met de y-as. Een grafiek van beide typen van hyperbolen voor a = 5 en voor b = 5 kan men vinden in Figuur 1 en 2.
Figuur 1: Hyperbool volgens x2 - y2 = 5
Figuur 2: Hyperbool volgens y2 - x2 = 5
Toen de formules van de Lorentztransformatie eenmaal waren afgeleid door Einstein begonnen de wiskundigen van zijn tijd, maar ook hij zelf, te kijken of je daar nog wat meer mee kon laten zien. Twee van die dingen waren de formules voor eigentijd (in het Engels: proper time) en eigenlengte (in het Engels: proper length). We laten voorlopig even in het midden wat eigentijd en eigenlengte is. We gaan ons eerst bezig houden met de afleiding van de formules voor eigentijd en eigenlengte.
De formule voor eigentijd kun je rechtsstreeks van de formules van de Lorentztransformatie, dat zijn de formules (5) en (6), afleiden. De feitenlijke afleding kun je vinden in het pdf-bestand Time Dilation.pdf. Deze tekst is wel in het Engels.
De formule voor eigenlengte kun je rechtsstreeks van de formules van de Lorentztransformatie, dat zijn de formules (5) en (6), afleiden. De feitenlijke afleding kun je vinden in het pdf-bestand Length Contraction.pdf. Deze tekst is wel in het Engels.
Wordt vervolgd ...
Ik ben benieuwd wat jullie van de hier gegeven uitleg van de speciale relativiteitstheorie vinden. Hieronder kunnen jullie opschijven wat je er allemaal van vindt. Maar je moet eerst even wat gegevens over je zelf opgeven. Als je die gegevens eigenlijk niet wil geven dan moet je zo maar wat invullen. Maar er wordt op jou reactie geantwoord op basis van de gegevens die je hebt ingevoerd.
Je kunt je gegevens nu opsturen door op de knop: Opsturen hieronder te klikken. Als je niet tevreden bent met wat je hebt opgeschreven, dan kun je dat altijd nog veranderen door het anders op te schrijven.
Als je echter weer helemaal opnieuw wilt beginnen, dan kan kun je dat doen door op de knop: Herstellen te klikken. Maar dan wordt ook weer je voor- en achternaam uitgewist.
_